Exact Values Sine 3° and Cosine 3°

Basic Angles:

• sin 30° = cos 60° = 1 / 2

• sin 45° = cos 45° = √2 / 2

• sin 60° = cos 30° = √3 / 2

• sin 90° = cos 0° = 1

36°

Identity needed:

• sin 3Θ = 3sinΘ  - 4sin³Θ

• sin 2Θ = 2sinΘ cosΘ

• sin Θ = sin (180° - Θ)

• sin²Θ = 1 - cos²Θ

Let Θ = 36°

5Θ = 180°

2Θ + 3Θ = 180°

2Θ = 180° - 3Θ

sin 2Θ = sin (180° - 3Θ)

sin 2Θ = sin 3Θ

2sinΘ cosΘ =  3sinΘ  - 4sin³Θ
2sinΘ cosΘ =  sinΘ (3 - 4sin²Θ)

2cosΘ =  3 - 4sin²Θ

2cosΘ =  3 - 4 (1 - cos²Θ)

2cosΘ =  - 1 + 4cos²Θ

4cos²Θ - 2cosΘ - 1 = 0

Let x = cosΘ = cos36°

4x² - 2x - 1 = 0

Solve using quadratic formula
x = (-(-2) ± √(2² -4 (4) (-1) ) ) / 2(4)
x = (2 ± √20 ) / 8
x = (2 ± 2 √5 ) / 8
x = (1 ± √5 ) / 4
Since x = cos36° > 0
x = (1 + √5 ) / 4
cos 36° = (1 + √5) / 4

sin²Θ = 1 - cos²Θ
sin²36° = 1 - cos²36°
sin²36° = 1 - ( (1 + √5) / 4 )²
sin²36° = 1 - (1 + 2√5 + 5) / 16
sin²36° = 1 - (6 + 2√5) / 16
sin²36° = (16 - 6 - 2√5) / 16
sin²36° = (10 - 2√5) / 16
sin 36° = ± √ ( (10 - 2√5) / 16)
sin 36° = ± √ (10 - 2√5) / 4
Since sin 36° > 0
sin 36° = √ (10 - 2√5) / 4

18°

Identity needed:

• cos 3Θ = 4cos³Θ - 3cosΘ

• sin 2Θ = 2sinΘ cosΘ

• cos Θ = sin (90° - Θ)

• cos²Θ = 1 - sin²Θ

Let Θ = 18°

5Θ = 90°

2Θ + 3Θ = 90°

2Θ = 90° - 3Θ

sin 2Θ = sin (90° - 3Θ)

sin 2Θ = cos 3Θ

2sinΘ cosΘ = 4cos³Θ - 3cosΘ

2sinΘ cosΘ = cosΘ (4cos²Θ - 3)

2sinΘ = 4cos²Θ - 3

2sinΘ = 4 (1 - sin²Θ) - 3

2sinΘ = 4 - 4sin²Θ - 3

4sin²Θ + 2sinΘ - 1 = 0

Let x = sinΘ = sin18°

4x² + 2x - 1 = 0

Solve using quadratic formula
x = (-2 ± √(2² -4 (4) (-1) ) ) / 2(4)
x = (-2 ± √20 ) / 8
x = (-2 ± 2 √5 ) / 8
x = (-1 ± √5 ) / 4
Since x = sin 18° > 0
x = (-1 + √5 ) / 4
sin 18° = (√5 - 1) / 4

cos²Θ = 1 - sin²Θ
cos²18° = 1 - sin²18°
cos²18° = 1 - ((-1 + √5) / 4)²
cos²18° = 1 - (1 - 2√5 +5) / 16
cos²18° = 1 - (6 - 2√5) / 16
cos²18° = (16 - 6 + 2√5) / 16
cos²18° = (10 + 2√5) / 16
cos 18° = ± √ ( (10 + 2√5) / 16)
cos 18° = ± √ (10 + 2√5) / 4

Since cos 18° > 0

cos 18° = √ (10 + 2√5) / 4

Method 1

Double angle needed:

• sin (A - B) = sin A cos B - cos A sin B

• cos (A - B) = cos A cos B + sin A sin B

sin15° = sin(45° - 30°)
sin15° = sin45° cos30° - cos45° sin30°
sin15° = √2 / 2 * √3 / 2 - √2 / 2 * 1 / 2
sin15° = (√6 - √2) / 4

cos15° = cos(45° - 30°)
cos15° = cos45° cos30° + sin45° sin30°
cos15° = √2 / 2 * √3 / 2 + √2 / 2 * 1 / 2
cos15° = √6 / 4 + √2 / 4
cos15° = (√6 + √2) / 4

Funny, flip a sign and we get the other!

Method 2 (Require 1/2 of Method 1)

Using one of the results from method 1, we can plug it into the identity.

Identity needed:

• cos²Θ = 1 -sin²Θ

• sin²Θ = 1 - cos²Θ

sin²15° = 1 - cos²15°
sin²15° = 1 - ( (√6 + √2) / 4 )²
sin²15° = 1 - (6 + 2 √12 + 2) / 16
sin²15° = 1 - (8 + 2 √12) / 16
sin²15° = (16 - 8 - 2 √12) / 16
sin²15° = (8 - 2 √12) / 16
sin²15° = (8 - 4 √3) / 16
sin 15° = ± √( (8 - 4 √3) / 16)
sin 15° = ± √(8 - 4 √3) / 4
sin 15° = ± √4 (2 - √3) / 4
sin 15° = ± 2 √ (2 - √3) / 4
sin 15° = ± √ (2 - √3) / 2
Since sin 15° > 0
sin 15° = √(2 - √3) / 2

cos²15° = 1 - sin²15°
cos²15° = 1 - ((√ 6 - √2) / 4)²
cos²15° = 1 - (6 - 2√12 + 2) / 16
cos²15° = 1 - (8 - 2√12) / 16
cos²15° = 1 - (8 - 4√3) / 16
cos²15° = (16 - 8 + 4√3) / 16
cos²15° = (8 + 4√3) / 16
cos²15° = 4 (2 + √3) / 16
cos²15° = (2 + √3) / 4
cos 15° = ± √( (2 + √3) / 4)
cos 15° = ± √(2 + √3) / 2
Since cos 15° > 0
cos 15° = √(2 + √3) / 2

Method 1

Double angle needed:

• sin (A - B) = sin A cos B - cos A sin B

• cos (A - B) = cos A cos B + sin A sin B

sin 3° = sin (18° - 15°)
sin 3° = sin 18° cos 15° - cos 18° sin 15°
sin 3° = (√5 - 1) / 4 * (√6 + √2) / 4 - √(10 + 2√5) / 4 * (√6 - √2) / 4
sin 3° = (√5 - 1) * (√6 + √2) / 16 - √(10 + 2√5) * (√6 - √2) / 16
sin 3° = 1 / 16 * ( (√5 - 1) * (√6 + √2) - √(10 + 2√5) * (√6 - √2) )

cos 3° = cos (18° - 15°)
cos 3° = cos 18° cos 15° + sin 18° sin 15°
cos 3° = √ (10 + 2√5) / 4 * (√6 + √2) / 4 + (√5 - 1) / 4 * (√6 - √2) / 4
cos 3° = √ (10 + 2√5) * (√6 + √2) / 16 + (√5 - 1) * (√6 - √2) / 16
cos 3° = 1 / 16 * (√ (10 + 2√5) * (√6 + √2) + (√5 - 1) * (√6 - √2) )

Method 2

• cos 2Θ = 1 - 2 sin²Θ

• cos 2Θ = 2 cos²Θ - 1

cos 2(3°) = 1 - 2 sin²3°
cos 6° = 1 - 2 sin²3°
1 - 2 sin²3° = 1 / 8 * (√3 (1 + √5) + √ (10 - 2√5) )
2 sin²3° = 1 - 1 / 8 * (√3 (1 + √5) + √ (10 - 2√5) )
sin²3° =  1 / 2 - 1 / 16 * (√3 (1 + √5) + √ (10 - 2√5) )
sin 3° = √ (1 / 2 - 1 / 16 * (√3 (1 + √5) + √ (10 - 2√5) ) ) 

cos 2(3°) = 2 cos²3° - 1
cos 6° = 2 cos²3° - 1
2 cos²3° - 1 = 1 / 8 * (√3 (1 + √5) + √ (10 - 2√5) )
2 cos²3° = 1 + 1 / 8 * (√3 (1 + √5) + √ (10 - 2√5) )
cos²3° = 1 / 2 + 1 / 16 * (√3 (1 + √5) + √ (10 - 2√5) )
cos 3° = √(1 / 2 + 1 / 16 * (√3 (1 + √5) + √ (10 - 2√5) ) )